Dzielniki liczby naturalnej
Janusz Karkut
W wielu konkursowych zadaniach dla uczniów gimnazjum pojawiają się dzielniki liczb naturalnych. Na przykładzie dwóch z nich chciałbym pokazać i uzasadnić ich ciekawą własność1.

 

Zadanie 1
 

Dodatnimi dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ich iloczyn to 1728 = 123. Ile wynosi iloczyn wszystkich dodatnich dzielników liczby 400?

 

 

W wypadku liczby 12 podanie wszystkich jej dodatnich dzielników nie jest trudne. A czy możemy z góry określić ich liczbę? Zapiszmy liczbę 12 w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych: 12 = 22 · 31. Dodajmy teraz do każdego wykładnika liczbę 1 i pomnóżmy je. Mamy: (2 + 1) · (1 + 1) = 6. Liczba 12 ma 6 dzielników!

 

Uzasadnienie tego sposobu obliczania liczby dzielników jest proste – skoro dzielnikiem liczby 12 jest 22, to są nimi też naturalne potęgi liczby 2 mniejsze od 22, czyli liczby 2 i 1. Zapiszemy to tak: {20, 21, 22}. Dla dzielnika 31 mamy: {30, 31}. Wszystkich dodatnich dzielników jest więc tyle, ile jest różnych par iloczynów elementów jednego i drugiego zbioru.

 

Na przykład dla liczby 400 mamy:
400 = 24 · 52.

 

Dzielników jest więc (4 + 1) · (2 + 1) = 15. Wypiszmy je wszystkie, wykonując mnożenia elementów zbioru {20, 21, 22, 23, 24} przez elementy zbioru {50, 51, 52}: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400. Czy teraz po prostu pomnożymy
1 · 2 · 4 · 5 · . . . · 200 · 400?

 

Nie! Możemy połączyć czynniki położone symetrycznie względem liczby 20 w pary:
(1 · 400) · (2 · 200) · (4 · 100) · . . . · (16 · 25) = 4007.

Tę liczbę trzeba jeszcze pomnożyć przez 20:
4007 · 20 = (202)7 · 20 = 2015.

 

Zauważmy, że liczby naturalne, będące kwadratami liczb naturalnych, mają nieparzystą liczbę dzielników, a środkowym dzielnikiem jest pierwiastek kwadratowy z takiej liczby. I tak na przykład dla liczby 36, która ma 9 dzielników, środkowym dzielnikiem jest 6. Z kolei wszystkie pozostałe liczby naturalne mają parzystą liczbę dzielników. W przypadku takich liczb pary iloczynów tworzymy podobnie. Na przykład dla liczby 45, która ma 6 dzielników, tworzymy następujące trzy pary iloczynów:

 

 

Zatem iloczyn wszystkich dzielników liczby 45 jest równy 453 = 91 125.


Podsumowując, iloczyn wszystkich dodatnich dzielników liczby będącej kwadratem pewnej liczby naturalnej można zapisać w postaci potęgi, w podstawie której jest pierwiastek z tej liczby, a wykładnikiem jest liczba wszystkich jej dzielników. W wypadu zaś każdej innej liczby naturalnej jest to potęga tej liczby o wykładniku równym liczbie par wszystkich dzielników.

 

 

Zadanie 2


Jaka jest najmniejsza liczba naturalna mająca 20 dzielników dodatnich?


Rozważymy rozkłady liczby 20 na czynniki, które są liczbami naturalnymi większymi od 1. Mamy cztery możliwości:
a) 20 = 20

b) 20 = 2 · 10
c) 20 = 4 ·5

d) 20 = 2 · 2 · 5

 

Korzystając z poprzedniego zadania, otrzymujemy:

a) 20 = (19 + 1), co daje 219 = 524 288,
b) 2 · 10 = (1 + 1) · (9 + 1), co daje 21 · 39 = 39 366 lub 29 · 31 = 1536,
c) 4 · 5 = (3+ 1) · (4 + 1), co daje 23 · 34 = 648 lub 24 · 33 = 432,
d) 2 · 2 · 5 = (1 +1) · (1 + 1) · (4 + 1), co daje 21 · 31 · 54 = 3750 lub 24 · 31 · 51 = 240 lub 21 · 34 · 51 = 810.

 

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest oczywiście 240. Wynik ten możemy otrzymać szybciej. Z powyższych zapisów wynika, że szukana liczba n może mieć następujący rozkład na czynniki pierwsze:
n = p19,   n = p · q9,   n = p3 · q4,   n = p · q · r4,

gdzie p, q, r są różnymi liczbami pierwszymi.

 

Najmniejszą liczbą, którą w ten sposób możemy otrzymać, jest n = 3 · 5 · 24 = 240.

 


1 W. Karpiński, J. Karkut, Korepetycje bez korepetytora. Matematyka Gimnazjum – Zbiór zadań zamkniętych, Kram, Warszawa 2009.